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たまには一切誰も興味ないことも書く、、だってただの日記だもの。

2018 年末～ 2019 年始にかけて、というかもっと長い目で見ればここ 10 年ほど、soliton model、いや soliton model でなくてもよいのだけど、、古典場の理論で「粒子」の 1/2 spin というのをどうにかこうにか出せないものか？悩み中。
...... 死ぬまでこの件で悩めそう、、いや楽しめそうという方が正しいのか？？

で、(R^3) Laplace 方程式の解として整数の spherical harmonics があるのはもちろん知ってたんですが、、
途方もなく無知な自分は 1/2 の spherical harmonics も当然あると思っていました。
まあただ、R^3 で連続でないのでみんな無視してるんだろう、と。
連続でなくてよければあるんだよね？？

自分で計算してみるのは面倒くさいしとりあえずググったところ、やっぱりあるやないけ。
Geoffrey Hunter and Mohsen Emami-Razavi "Properties of Fermion Spherical Harmonics"
ただ、この程度の話で wiki でなく論文が引っかかったことに若干のヘンな手ごたえは感じていた。。。

が、、なんでだったかな？これをもとに何か計算していたら角度 0 のあたりで微分が発散することに気づき、不審に思って昇降演算子つくってみて自分で計算してみることに。
昇演算子で消える 1/2 の解 ... OK
それをもとに降演算子で -1/2 の解をつくる ...
つくる ...
つ ......

つくれない！こんな簡単な計算間違うはずもない！
Lie 群の表現論にそって計算しているのに ... Lie 群の議論の前提を満たしてないのか？？いや ... それもないだろう ... 要求してるのって確か generator の交換関係だけのはず ...
大体そもそも、自分がさっきの論文から引っ張ってきた関数、あってたか？何か違うものコピっちゃった？

... いや、そうでもない、、なんなんだ、一体？これはどういうこと！！？？
よくみたらその論文内にご丁寧に 4. Ladder Operations という章があって、これまたご丁寧にも 4.3.1 に Case for l=1/2 というのがある ...
なんだと！！降演算子 2 回かましても消えないだと！自分がハマったことと全く同じやんけ！！

この論文ではなにやらホゲホゲと言い訳を書いて「それでもこれが 1/2 の解だ」と言い張ってるけれど、、
いやいや、、ちげーだろっ！
多分 1/2 の解は Laplace equation の解としてはないのだ ...
なんでなんだ？Lie 群の表現の前提は満たしているのに、こんなことがあり得るのか？？
... 未だに完全な回答はわからないながら、自分の勘だと関数空間で適用するためには「R^3 で連続」でないとダメなんだろうか ... ？それくらいしか違いが判らん！

では空間 4D ならあるのか？今考えているのは SU(2) なので、球面 S^3 上に 1/2 の解があればそれでも良いんだけれど？
↓
どうもないようだ。こっちは wiki に回答があって、高次元の spherical harmonics は基本的には R^3 の spherical harmonics をもとに構成できるので、故に half integer の spherical harmonics はない。

この 10 年、イロイロと考えてはダメで 100 戦 100 敗中ながら、、こんなに初歩的なことで躓いたのは初めて ... 学部生レベルだったな ... (> _<)
まあ、今回知ったということで良しとします、また別の道を探さないとだけど。

そもそも 10 年前から続けているこの方向性、正しい保証なんて全くないんですけどね ... 世界中でこんなことやってるの自分しかいないだろうし。むしろ正しい可能性なんて宝くじの 1 等が当たるくらいの確率で、まあそれはほかのどの方向を選んだとしても同じだとは思いますがー。
（それでも string theory とか super symmetry とかよりはまっとうなことをやっていると信じている！！）
勝率 0 パーセント！我ながらよくやるわ ... この道に踏み込んだキッカケは純粋な知的好奇心だったはいえ ... もはや執念だけで続いている感 ... この「量子力学」というのだけは、自分が生きているうちにぶっ潰しておきたい ... 自分の物理学者としてのセンスが、許せん。。。
(-_-;